Lenguaje formal
Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la hasta el final del abecedario.
Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable o , o , o .
Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman funtores, juntores, conectivas u operadores lógicos.
Cuando el funtor afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador ( ) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, , «no ». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los funtores más importantes son:
Conjuntor , «y» en el lenguaje natural.
Disyuntor , «o».
Condicional, «si... entonces».
Bicondiconal, «si y sólo si... entonces».
Disyunción exclusiva, «o... o», una proposición excluye a la otra.
El negador además de ser un funtor monádico —es decir que afecta a una variable—, puede ser poliádico, cuando afecta a más de una variable o a una expresión entera.
Hay que tener siempre en cuenta, que las variables simbolizan oraciones enteras y no sólo palabras o nombres:
Ejemplos de simbolización de oraciones, del lenguaje natural al lenguaje formal:
La conjunción: «Juan juega y Pedro estudia».
La disyunción: «Llueve o nieva».
El condicional: «Si estudias entonces aprendes».
El bicondicional: «Si y sólo si tienes dieciocho años puedes votar».
La disyunción exclusiva: «O te quedas o te vas».
La negación: «Manolo no juega limpio».
A veces el negador puede afectar a más de una variable o a la conjunción, o disyunción de ambas:
«Es falso que estudies o trabajes».
[editar] Valores de verdad
En la gramática estamos acostumbrados a ver que la oraciones pueden ser verdaderas o falsas, según se ajusten o no a la realidad que expresan, por ejemplo si llueve y digo que “hace sol”, esa oración es falsa. En cambio la lógica considera que las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas con independencia de que en la realidad lo sean; por eso habla de valores de verdad.
Una proposición [ ] puede ser indistintamente verdadera o falsa; cuando es verdadera, le damos valor 1, cuando es falsa, le adjudicamos el valor 0. Según esto la variable , puede tener los siguientes valores:
1 1 0 0
1 0 1 0
Cuando siempre tiene valor 1, hablamos de tautología de . Cuando siempre es falsa, contradicción de . Si p es primero verdadera y luego falsa, afirmación de . Cuando es primero falsa y luego verdadera, negación de .
Si consideramos los valores de dos variables conjuntamente, las posibilidades aumentan según el gráfico siguiente:
1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0
Las dos primeras columnas indican los cuatro valores posibles que pueden tener dos proposiciones simples, si se consideran sus valores a la vez: las dos verdaderas, la primera verdadera y la segunda falsa, la primera falsa y la segunda verdadera y las dos falsas.
Las restantes dieciséis columnas representan los valores de verdad o falsedad, de cada una de las dieciséis proposiciones de orden dos.
Entre estas proposiciones, hay algunas que tienen especial interés en lógica, según los valores que adoptan las variables cuando están afectadas por funtores:
Proposición conjuntiva
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 0 0
La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos.
Se lee y .
Proposición disyuntiva inclusiva
1 1 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando vale 0 y vale 0.
Se lee ó .
Proposición disyuntiva exclusiva
1 0 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
La disyunción exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera y la otra falsa, y es falsa en los demás casos.
Se lee excluye a .
Proposición condicional
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando vale 1 y vale 0.
Se lee condiciona a .
[editar] Proposición bicondicional
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuando ambos son falsos, y es falso en los demás casos.
Se lee bicondiciona a .
[editar] Proposición negativa
1 0
0 1
La negación - que se lee no -, cambia el valor de la variable que se niega: sólo es verdadera si es falsa y es falsa si es verdadera.
Proposiciones atómicas y moleculares. Las tablas de verdad ó tablas veritativas
En Química se aprende que los cuerpos están formados de átomos que se asocian formando moléculas; cuando una proposición consta de una sola variable la llamamos proposición atómica, y, cuando consta de muchas variables, proposición molecular.
Para hallar el valor de verdad de una proposición molecular, hay que descubrir el funtor capital, aquel que liga más, es decir que une o liga toda la expresión.
Un mecanismo sencillo para conocer el valor del funtor capital en una proposición molecular es el llamado método de las tablas de verdad.
Sirve de ayuda para localizar al funtor capital, la utilización de paréntesis y corchetes:
En esta expresión se ve con claridad que el funtor capital es el condicional, que une todo el corchete con .
El modus operandi es ir encontrando el valor de verdad primero de los funtores que ligan menos, hasta llegar en último lugar al funtor capital.
1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0
En esta expresión, se comienza hallando el valor del condicional en el primer paréntesis puesto que une a la con la ; después la conjunción que une el resultado del condicional con la dentro del corchete; y por último el condicional que une el resultado recién hallado de la conjunción con la última variable .
Cuando en la tabla aparece en todos los lugares de funtor capital el valor 1, la expresión es una tautología o identidad. Si en todos los lugares el valor es 0, es una contradicción. Finalmente cuando en el funtor capital encontramos valores de 1 y de 0, la proposición es indeterminada.
Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla veritativa:
1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0
Según se observa en este ejemplo, el resultado del condicional en el primer paréntesis, es el mismo que el resultado de la disyunción en el segundo paréntesis. Estas proposiciones son por tanto, equivalentes; esto quiere decir que pueden ser sustituidas una por la otra.
Dada cualquier expresión, se puede sustituir por otra equivalente, esta afirmación se conoce con el nombre de principio o regla de sustitución.
[editar] Leyes lógicas
Todas aquellas proposiciones tautológicas son leyes de la lógica proposicional. Por ejemplo:
1 1 0
0 1 1
Es una ley lógica que ya conoció Aristóteles con el nombre de tercero excluido o tertio excluso.
Las leyes lógicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes que se refieren a la conjunción, disyunción y negador (La significa tautología y la contradicción):
Idempotencia
Asociativa
Conmutativa
Identidad
Absorción
Distributiva
De Morgan
Doble negación
Para desarrollar la lógica proposicional no es necesario utilizar todos los funtores, es suficiente hacerlo con un número mínimo, son los funtores primitivos, a partir de los primitivos se obtienen los derivados.
La conjunción, disyunción y el negador son los primitivos, ya que gracias a la regla de sustitución, los demás funtores como el condicional o el bicondicional se pueden reducir a ellos:
Regla de sustitución
1.
2.
Ejercicios
Hallar la tabla veritativa de las siguientes expresiones:
En primer lugar hallamos los valores del primer paréntesis, después los valores del otro paréntesis; finalmente hallamos los valores del condicional relacionando los resultados de ambos paréntesis. La expresión es una tautología.
Ejercicio 1
1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0
Es una tautología.
Ejercicio 2
1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
Ejercicio 3
1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0
Es una tautología.
Ejercicio 4
1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1
[editar] El razonamiento o inferencia
Hasta aquí hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahora vamos a observar la relación interna de las proposiciones y el modo de progresar en el conocimiento, obteniendo conclusiones a partir de proposiciones ya conocidas. Es el razonamiento o inferencia.
Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidas llamadas premisas a otra nueva llamada conclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de modo que para que el razonamiento esté bien construido tiene que haber una relación de necesidad entre las premisas y la conclusión. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por ejemplo, cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y es en ese momento cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones anteriores o premisas:
"Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo".
La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusión.
En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo que se lee "luego".
El razonamiento anterior se simboliza:
1. ( primera premisa )
2. ( segunda premisa )
(conclusión)
Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo si digo:
"Todos los burros vuelan".
"Platero es un burro".
Luego "Platero vuela".
El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porque está bien construido. A la lógica sólo le importa la validez formal.
Otro ejemplo descabellado puede ser:
"La tierra está formada de plastilina".
"Mi brazo forma parte de la tierra".
Luego "Mi brazo está formado de plastilina".
El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica busca que la conclusión se derive necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho.
Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que sean verdaderos materialmente y válidos formalmente, por ejemplo:
"Quien no se presente a examen, suspenderá".
"Pepa no se ha presentado".
Luego "Pepa suspende".
En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones lógicas que existen entre ellas.
Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido cuando la conclusión no se deriva de las premisas.
Ejemplos de razonamiento:
1. 2. 3. 4.
También pueden escribirse: , ; , etc.
¿Cómo se puede saber si un razonamiento es o no válido sin necesidad de traducirlo al lenguaje natural?
Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas.
Modus operandi:
1. Se hallan las tablas de cada una de las premisas y de la conclusión.
2. Si se da el caso de que teniendo valor verdadero las premisas, la conclusión es falsa, la inferencia es inválida.
3. Si la conclusión es verdadera al igual que las premisas, el razonamiento es válido. Por ejemplo:
1. ( primera premisa )
2. ( segunda premisa )
(conclusión)
1 0 1
1 0 1
1 1 1
0 1 0
La columna de la izquierda expresa los valores de la disyunción de ; los del centro la segunda premisa que es , y la última columna los valores de la conclusión .
Vemos que no hay ningún caso en que siendo verdaderas ambas premisas, la conclusión sea falsa. Luego el razonamiento es válido.
Si razonamos así:
1. ( primera premisa )
2. ( segunda premisa )
(conclusión)
1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0
En la tercera fila se observa que, siendo verdaderas las dos premisas, la conclusión es falsa, luego el razonamiento es inválido. De este modo podemos comprobar la validez de muchos razonamientos.
Algunos razonamientos válidos, son leyes lógicas como las que anteriormente hemos expuesto, y sirven también para calcular la validez de otros razonamientos.
Ahora realizen estos ejercicios que les seran de ayuda para mejorar la calificaion en su examen.
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Análisis de Silogismos Categóricos
Algunos matemáticos son filósofos
Algunos filósofos son metafísicos
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Algunos metafísicos son matemáticos
Identifique las partes del silogismo anterior:
1. Premisa mayor:
2. Premisa menor:
3. Conclusión:
4. Predicado de la premisa mayor:
5. Preciado de la premisa menor:
6. Predicado del silogismo:
7. Término medio del silogismo:
8. Sujeto de la premisa mayor:
9. Sujeto de la premisa menor:
10. Sujeto del silogismo:
Ejercicio 3
Modo y Figura de los Silogismo Categóricos
(1) ¿Cuál es el modo y la figura del silogismo del Ejercicio 2?
(2) Vea las siguientes premisas:
Premisa mayor: Todos los caritativos merecen alabanza
Premisa menor: Algunos estudiantes son caritativos
Si la conclusión fuera una proposición de clase I, ¿qué proposición se seguiría de las premisas anteriores?
(3) Construya dos silogismos con las siguientes proposiciones. Indique el modo y la figura de cada uno.
Algunas figuras de cuatro lados no son cuadrados; todos los cuadrados son rectángulos; algunas figuras de cuatro lados no son rectángulos.
Silogismo 1:
Modo:
Figura:
Silogismo 2:
Modo:
Figura:
(4) Construya un silogismo con las siguientes proposiciones, e indique su modo y figura:
Ningún republicano es demócrata, así que ningún republicano está en favor de aumentar los impuestos, puesto que todos los que están en favor de aumentar los impuestos son demócratas.
Ejercicio 4
Probar la validez de los silogismos
La refutación por el método de analogía o contraejemplo tiene cuatro pasos:
1. Escoja un silogismo con premisas verdaderas y conclusión verdadera
2. Suponga que el silogismo es válido
3. Intente descubrir un silogismo análogo (uno que tenga idéntico modo y figura), con premisas verdaderas y conclusión falsa.
4. Si no se puede encontrar ninguno, considere el silogismo como válido. Si puede encontrar alguno, declárelo inválido.
Estos silogismos categóricos que tienen premisas verdaderas y conclusión verdadera:
Ningún conejo es gato.
Ninguna tortuga es conejo.
Por tanto, ninguna tortuga es gato.
Todos los perros son caninos
Ningún perro es felino.
Por tanto, ningún felino es canino.
Algunos estudiantes no son perezosos.
Algunos maestros no son perezosos.
Algunos maestros no son estudiantes.
Algunos profesores no están casados.
Todos los esposos están casados.
Luego, algunos esposos no son profesores.
Algunas carreras son maratones.
Algunas carreras no son de 10 km
Luego, algunas carreras de 10 km no son maratones.
Algunos carros son caros.
Algunos carros son veloces.
Luego, algunas cosas que son veloces son caras.
Algunos primates son animales pequeños.
Algunos mamíferos son primates.
Algunos mamíferos son animales pequeños.
Algunos estudiantes no son felices.
Ninguna persona codiciosa es feliz.
Luego, algunos codiciosos son estudiantes.
Ningún libro es consciente.
Ninguna cuchara es libro.
Luego, ninguna cuchara es consciente.
Algunos buses no son diesel.
Algunos buses son operados por la municipalidad.
Luego, algunos vehículos operados por la municipalidad no son diesel.
Ninguna cosa letal es juguete.
Algunas armas son letales.
Luego, algunas armas son juguetes.
Todos los jazmines son aromáticos.
Ninguna cosa aromática carece de fragancia.
Luego, algunas cosas que carecen de fragancia no son jazmines.
Ejercicio 5
Diagramas de Venn
Diga si los siguientes silogismos son válidos o inválidos, haciendo uso de los diagramas de Venn.
1. Ningún G es M Diagrama:
Todo G es P
:. Ningún M es P
( ) Válido
( ) Inválido
2. Todo J es W Diagrama:
Algún J no es S
:. Algún W no es S
( ) Válido
( ) Inválido
3. Todo S es B Diagrama:
Algún B es J
:. Algún J es S
( ) Válido
( ) Inválido
4. Algún B no es S Diagrama:
Todo S es Y
:. Algún B no es Y
( ) Válido
( ) Inválido
5. Ningún A es Z Diagrama:
Ningún Z es W
:. Ningún A es W
( ) Válido
( ) Inválido
6. Ningún F es B Diagrama:
Algún W no es F
:. Algún W es B
( ) Válido
( ) Inválido
7. Algún C no es J Diagrama:
Todo Q es J
:. Algún C no es Q
( ) Válido
( ) Inválido
8. Todo L es N Diagrama:
Algún N no es J
:. Algún L no es J
( ) Válido
( ) Inválido
9. Algún O es D Diagrama:
Ningún T es O
:. Algún D no es T
( ) Válido
( ) Inválido
10. Algún J es A Diagrama:
Todo A es O
:. Algún O es J
( ) Válido
( ) Inválido
Ejercicio 6
Simbolización
Traduzca las siguientes proposiciones a lenguaje simbólico:
1. F = Florida tiene un parque de diversiones
L = S. Lucas tiene un parque de diversiones
“Florida tiene un parque de diversiones pero San Lucas no lo tiene”: ______
2. P = Paiz da descuentos a los estudiantes
M = MacDonalds da descuentos a los estudiantes.
“Tanto Paiz como MacDonalds dan descuentos a los estudiantes”: ___________
3. N = Nintendo produce un juego de terror
S = Sega produce un juego de terror
“Si Nintendo produce un juego de terror, Sega también” : ________
4. “Nintendo produce un juego de terror si Sega lo hace”: ______
¿Cuál es la condición necesaria? ________
¿Cuál es la condición suficiente? _______
5. R = Russell Crowe va a la fiesta
C = Catherine Z. Jones va a la fiesta
“Russell Crowe va a la fiesta sólo si Catherine Z. Jones va”:
__________
¿Condición necesaria? _______
¿Condición suficiente? _______
6. “Sólo si Catherine Z. Jones va a la fiesta, va Russell Crowe”: _________
7. C = Cancelaron la subasta
P = El gobierno tiene problemas
“Que hayan cancelado la subasta implica que el gobierno tiene problemas”: _______
8. H = Harrison Ford actúa en la película
J = Julia Roberts actúa en la pelícua
“Harrison Ford no actúa en la película a menos que Julia Roberts actúe en la pelícua”: ________
9. A = Alemania restringe el aborto
B = Bélgica restringe el aborto
H = Holanda restringe el aborto
“Alemania restringe el aborto sólo si Bélgica y Holanda lo hacen”: _________
10. C = El Congreso adopta el plan de salud universal
P = El Presidente apoya la reforma a la campaña electoral
S = El Senado aprueba el plan de defensa
“El presidente apoya la reforma de la campaña electoral y, o bien el Congreso adopta el plan de salud universal o el Senado aprueba el plan de defensa (o ambas cosas)”: ____________
11. “O bien el Presidente apoya la reforma de la campaña electoral y el Congreso adopta el plan de salud universal, o el Senado aprueba el plan de defensa”: __________
12. A = Avis alquila limosinas
H = Hetz alquila limosinas
“Ni Avis ni Hertz alquilan limosinas”: ___________
13. C = Canada subsidia sus exportaciones
M = México abre nuevas fábricas
E = Estados Unidos sube las tarifas de importación
“Si Canadá subsidia sus exportaciones, entonces, si México abre nuevas fábricas, Estados Unidos sube las tarifas de importación”: _________
14. “Si el hecho de que Canadá subsidie sus exportaciones implica que México abra nuevas fábricas, entonces los Estados Unidos suben las tarifas de importación”: _______
15. B = Britney Spears va al concierto de caridad
C = Cristina Aguilera va a la concierto de caridad
S = Shakira va al concierto de caridad
J = Jennifer López va al concierto de caridad
“Si Jennifer López o Shakira van al concierto de caridad, ni Britney Spears ni Cristina Aguilera irán”: _____________
16. E = Egipto suspende los ataques terroristas
C = Colin Powell toma acciones
D = Donald Rumsfeld toma acciones
A = Arabia Saudita suspende los ataques terroristas
“Colin Powell o Donal Rumsfeld toman acciones, dado que tanto Arabia Saudia como Egipto no suspenden las acciones terroristas”: ___________
17. N = Nicole Kidman va a la premiere.
P = Penélope Cruz va a la premiere.
T = Tom Cruise va a la premiere.
“Tom Cruz va a la premiere, puesto que Penélope Cruz también va, pero Nicole Kidman no va”: ________
18. A = Apple tendrá ofertas de trabajo
D = Del tendrá ofertas de trabajo
I = Intel despedirá trabajadores
M = Microsoft no admite la acusación de monopolio
“Microsoft no admite la acusación de monopolio; sin embargo, si Intel despide trabajadores entonces ya sea Dell o Apple tendrán ofertas de trabajo”: _________
Recuerden que el limite de entrega es el dia 26/02/10, y sera de ayuda, no solo en su calificacion del parcial, sino del semestre.
jueves, 25 de febrero de 2010
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